푸리에 변환(Fourier transform) (3) - 샘플링과 나이퀴스트 정리

  이번 글에서는 샘플링과 나이퀴스트 정리에 대해서 알아보고자 한다 (주의: 이를 처음 접하는 사람이라면 다소 어려울 수 있습니다.). 우리가 신호나 영상을 얻을 때 연속적인 아날로그 정보를 일정 시간에 따라 불연속적으로 끊어 저장해야 합니다 (아날로그 신호를 연속적으로 측정하는 것은 불가능합니다.). 이것을 우리말로 표본화 혹은 샘플링(Sampling)이라고 합니다. 그렇다면 푸리에 변환과 샘플링은 어떤 관계가 있을까요? 

 단순히 푸리에 변환을 이용하여서 데이터를 분석하는 것이라면 크게 중요하지 않을 수도 있습니다. 하지만 푸리에 변환을 이용하여서 특정함수를 만들고 이를 변환 혹은 역변환을 통해 계산에 사용한다면 매우 중요한 이론입니다. 이는 주파수와 샘플링의 관계에 대해서 이해하는데도 도움이 될 것 입니다.

 

1. 나이퀴스트-섀넌 표본화 정리(Nyquist-Shannon sampling theorem)

 

 일반적으로 우리는 불연속하게 샘플링된 신호를 통해서 연속적인 신호를 추정하거나 연속적인 신호를 만들어 이용하고자 한다. 연속함수로부터 불연속적인 함수 추정은 매우 쉬운 일이고 명백한다. 하지만 불연속적인 샘플은 무수히 많은 연속적인 신호가 될 수 있다. 왜냐하면 불연속적인 점들을 연결하는 방법은 무수히 많기 때문이다. 그렇기 때문에 연속함수 또는 연속적인 신호를 시스템을 통하여 불연속적으로 샘플링할 때 신호를 복원하기 위해 적절한 샘플링 조건을 알아야 한다.

 나이퀴스트-섀넌 표본화 정리는 신호를 복원하기 위한 최소 샘플링 조건을 제시한다. 이에 따르면 연속함수 \( x(t) \) 를 일정 주기, \( f_{s} \)로 샘플링 했을 때, 항상 불연속적인 샘플을 통해서 추정되는 무한히 많은 함수가 있지만 그 중에서 하나만이 최대 주파수 \( 0.5f_{s} \) 를 가진다 (다른 연속 함수들은 모두 그 이상의 최대 주파수를 가진다.). 반대로 말하면 추정 가능한 최소주파수 함수가 최대 주파수 \( 0.5f_{s} \) 를 가진 연속함수가  되기 위해서는 최소한 \( f_{s} \) 이상의 주기로 샘플링해야 함을 의미한다. 여기서 특정 신호를 표현하기 위해서 필요한 최소 샘플링 주기를 나이퀴스트 주기(Nyquist rate)이라 한다. 만약 최대 주파수 혹은 대역폭(Bandwidth)이 제한된 함수(Bandlimited function)이 있고 그 최대 주파수를 \( B \) 라 할 때,

 

<대역폭 B를 가진 함수 (출처: 위키피디아)>

이 함수(위 그림 속의 함수)를 표현하기 위한 최소 샘플링 주기 혹은 나이퀴스트 주기는 \( 2B \) 이다. 그러므로 신호를 표현하기 위해서 필요한 샘플링 주기의 조건은 다음과 같다.

  $$ f_{s} > 2B $$

 신호의 최대 주파수의 2배 이상의 주기로 샘플링을 하여야 한다는 말이다. 나이퀴스트 주기는 신호의 특성이다. 신호의 관점에서 필요한 최소 요건이고 이를 충족하지 않을시에 위신호 현상(Ailiasing)이 나타난다.

 나이퀴스트 주파수(Nyquist frequency)는 샘플링을 수행하는 시스템의 특성을 나타낸다. 주어진 샘플링 주파수가 \( f_{s} \) 라고 할 때, 푸리에 변환을 통해서 얻을 수 있는 최대 주파수는 \( 0.5f_{s} \)이고 이를 나이퀴스트 주파수라고 한다. 최대 주파수가 \( 0.5f_{s} \)인 이유는 하나의 주파수를 표현하기 위해서는 최소 2개의 샘플이 필요하기 때문이다.

 

2. 위신호 현상 (Ailiasing)

 

 위신호 현상은 위에서 말한 샘플링 주기가 나이퀴스트 주기보다 작을 때 발생하는 현상이다. 그렇게 될 때, 불연속적인 샘플들로 추정할 수 있는 연속적인 신호들 중에 본래의 신호의 주기보다 낮은 대역폭을 가진 신호가 포함되게 된다. 이러면 사람의 눈으로 관측할 때에 신호가 왜곡되어 보인다. 

 샘플링 주파수가 낮으면 신호가 왜곡되어 보인다? 실제 보지 않으면 믿기 힘든 일이다. 한번 영상과 비디오로 예를 들어보겠다.

 

<위신호 현상의 예>

  그림을 한번 보자. 실제로는 격자무늬의 수 많은 창문을 가지고 있는 사진이다. 하지만 화질이 낮은 (다른 말로 샘플링 주기가 낮은) 사진기를 통하여 사진을 찍으면 오른쪽 사진과 같이 사진이 왜곡되어 보인다. 이는 사진기의 샘플링 주기가 사진 속 창문들이 가지고 있는 공간주파수(spatial frequency) 크기의 2배만큼인 나이퀴스트 주기보다 낮기 때문에 발생한다. 최근에 사진기는 화질이 매우 좋아서 이런 현상을 발견하기는 어렵지만 과거의 낮은 화질의 사진기에서는 이런 일이 심심치 않게 일어났다 (위신호 현상을 몰랐던 어릴 적에는 빛이 왜곡되어 나타나는 현상쯤으로 생각했었던 것 같다.). 아래 영상은 또 다른 위신호 현상의 예이다.

 

<동영상에서의 위신호 현상 (시간이 없다면 약 25초부터 보길 추천합니다.)>

 동영상에서 위신호 현상은 어떤 주파수로 인해 나타날까? 바로 프레임 주기이다. 프레임 주기(frame rate)이란 1초에 몇장의 사진이 촬영되는 나타내는 수치로 단위는 fps(frame per second)을 사용한다. 처음에 비행기의 프로펠러가 돌아갈때는 그 방향이 정확하게 보인다. 하지만 빨라기지 시작하면서 어느 순간 프로펠터의 시간주파수(time frequency)의 나이퀴스트 주기가 동영상 시스템의 최대주파수를 넘으면서 방향이나 속도가 뒤틀리기 시작한다. 이는 저화질 동영상을 본 적이 있는 사람이라면 한번쯤 보았을 것이라 생각한다.

 우린 나이퀴스트 주기보다 시스템의 샘플링 주파수가 낮으면 신호의 왜곡이 발생한다는 것을 관측하였다. 그렇다면 이론은 이해했고 현상도 확인하였는데 왜 이런 일이 일어나는 것일까? 그것은 우리 눈이 관측한 불연속한 샘플을 통해서 뇌가 임의로 연속적인 신호를 추측하기 때문이다. 그리고 그 추측의 결과는 높은 비율로 불연속한 샘플을 표현할 수 있는 가장 낮은 주파수를 가진 연속 신호이다. 결국 나이퀴스트 주기 기준을 만족하면 항상 옳은 연속신호를 뇌는 추측하고 그렇지 않으면 더 낮은 주기를 가진 잘못된 연속신호를 추측하게 된다. 참 신기하다.

 만약에 샘플링 주기가 매우 제한적인 시스템을 가지고 있을때 위신호 현상을 피할 방법이 없을까? 있다. 그것은 우리가 샘플링하게 될 연속함수 혹은 사물에 저역통과 필터를 적용하여 고주파수를 제거해버린 후 샘플링을 하면 된다. 이렇게 하면 관측하게 될 신호의 최대주파수가 감소하여 나이퀴스트 주기도 동일한 비율로 감소한다. 나이퀴스트 주기를 감소시켜 샘플링 주기보다 낮게 만드는 것이다. 물론 이렇게 하면 고주파수 신호를 잃게 되어 정밀한 측정은 힘들지만 최소한 신호의 왜곡을 막을 수 있다.

 

 샘플링은 주파수와 직접적인 관계가 있고, 푸리에 변환은 신호를 주파수 관점에서 처리하기 위해 꼭 필요한 도구이다. 푸리에 변환을 배우면서 샘플링과의 관계를 알아두면 앞으로 주파수를 이용하는 일에 매우 도움될 것이다.

 

 

※ 본 글은 필자가 공부를 하며 얻은 이해를 바탕으로 적은 글이므로 다소 해석의 오류가 있을 수 있습니다. 글이 도움이 되었다면 하트 클릭 부탁드립니다 :) (비로그인으로도 가능합니다.)